РАЗРАБОТКА И АНАЛИЗ ПОЛУМАРКОВСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ В ГОТОВНОСТИ К ПРИМЕНЕНИЮ

На основе общей постановки задачи (7.97)—(7.105) можно сформулировать и решить задачу оптимизации параметров системы эксплуатации, определяемых организацией под­держания ЛК в готовности к применению с помощью периодических проверок (ПП) его технического состояния. Для этого необходимо разработать и проанализировать модель поддержания ЛК в готовности к применению.

В соответствии с рассмотренной в § 7.1 последовательностью по­становки и решения подобных задач оптимизации на основе зависимо­стей, полученных в § 7.4, построим соответствующую полумарковскую модель. Начнем со словесного описания системы поддержания Л К в готовности к применению.

Пусть эксплуатация одноканального ЛК (ОЛК) организована сле­дующим образом. Работоспособный и готовый к применению ОЛК на­ходится на дежурстве в течение неслучайного ин­тервала времени Тмпп, после которого он подверга­ется периодическим проверкам, продолжающимся неслучайное время тПп. В ходе ПП в случайные моменты времени, распределенные экспоненциаль­но, могут возникать отказы и ложные отказы, но при этом ОЛК поступает на восстановление и после восстановления, которое длится случайное время, распределенное по закону Эрланга, пере­ходит в работоспособное состояние и находится Рис. 7.7. Граф со — в готовности к применению. В процессе дежурства стояний полумар- в случайные моменты времени, распределенные поддержания Л Кв экспоненциально, могут возникать скрытые отказы, готовности к при — при которых ОЛК неработоспособен, но считается менению готовым к применению и находится на дежурстве.

до очередных ПП. При проверках, проводимых из состояния скрытого отказа, отказ вскрывается достоверно и ОЛК направляют на восстановление, а затем в работо­способном состоянии — на дежурство.

Определим состояния і = 1, 2, 3, 4, 5 ОЛК (рис. 7.7):

1(р) — работоспособное, ОЛК в готовности к применению;

2{ПП) — периодические проверки работоспособного ОЛК, в ходе которых возникают отказы и ложные отказы;

3(в) — восстановление после возникновения отказов и ложных отказов в ходе ПП; восстановление после обнаружения скрытого отказа при ПП;

4(с. о) — ОЛК неработоспособен, но считается готовым к примене­нию (скрытый отказ);

5(ПП0) — периодические проверки ОЛК, находившегося в состоя­нии скрытого отказа, і

В соответствии с принятой организацией ПП возможны следующие переходы; из состояния 1 — 12 и 14; из состояния 2—21 и 23; из со­стояния 3—31; из состояния 4—45; из состояния 5—53, т. е. всего семь переходов.

Рассмотренная схема значительно беднее, чем представленная в гл. 3 (см. рис. 3.2) или работе [16], так как в ней не рассмотрены рег­ламентные проверки и ТО, а также не разделены отказы и неисправ­ности, при которых ОЛК остается работоспособным, не учтена также возможность возникновения отказов в процессе восстановления ч

Однако, как показывают исследования и расчеты, предлагаемая схема достаточно полно описывает взаимосвязь группы параметров, определяющих организацию периодических проверок, а также приво-

дит к простым обозримым выкладкам, позволяющим проиллюстриро­вать постановку и решение задач оптимизации параметров системы эксплуатации с использованием полумарковских процессов.

В соответствии со словесным описанием процесса получим матрицу Q(X) = {QU(X, і)} [см. (7.95)], которая должна включать семь ненуле­вых составляющих. Поскольку ПП следуют через неслучайное время тмпп, имеем

Переход 14 осуществляется в случайное время if, распределенное по экспоненциальному закону с параметром потока скрытых отказов со4 до момента тмпп, т. е.

0*1(0

Переход из состояния 2 (ПП) работоспособного ОЛК в состояние дежурства при отсутствии отказов в ходе ПП происходит через неслу­чайное время ті її і продолжительности проверок, поэтому

Переход из состояния проверок 2(ПП) в состояние 3(e) из-за воз­никших в случайный момент времени ПП отказов или ложных отказов характеризуется вероятностью

0й(0= 1— е-(“2+“-и, (7.113)

где со2 — параметр потока отказов при ПП; (о3 — параметр потока ложных отказов при ПП.

Окончание восстановления и переход из состояния 3(e) в работоспо­собное 1(р) зависит от случайной продолжительности работ по восста­новлению, имеющей гамма-распределение при k = 2 (см. табл. П.1), т. е. распределение Эрланга, для которого

Qsi(t)= 1-0 +со1Ое-“1′, (7.114)

где cot — параметр распределения Эрланга.

53 *

Заканчиваются проверки ОЛК, находившегося в состоянии скры­того отказа, через неслучайное время тпп продолжительности прове­рок, поэтому

В соответствии с полученными выше функциями Qa(t) по (7.78) найдем вероятности перехода:
e ы c! Ql2 (t).

„ °*тмпп с •

Для вырожденных функций распределения, какими являются Q12, С?2ь Qb3, описывающие регулярный скачок, вся вероятность сосре­доточена в моменте скачка (t — тмпп. тпп), поэтому й(?і2(тмпп) = 1 и

Для вычисления вероятности Ри используем очевидное соотношение /712 + Ри = !. откуда ^

Ри= 1 — ра = 1 — e~“‘W[. (7.117)

Аналогично можно получить

°Г ТМПП ,

Ри = H-QMdQli{t)= ‘ d[ 1-е-^]=1-е •

о J

Заметим, что для />тмпп имеем 1—Ql2(t) = 0, поэтому предел ин­тегрирования был изменен.

Учитывая, что dQ2і(тпп) = 1 для состояния 2, получим:

Ри = j [1 — Q23 (01 dQ2l (t) = j e (“J+“s)’ dQ2l (0 = e

■ — (“s+“3> T,

Р2З — 1 Р21 — 1 e

Переходные вероятности

Рзі = Pb5 = Ps3 = 1,

так как переходы 31, 45, 53 — единственно возможные.

Сложнее найти величину Ql5(t), определяющую переход из состоя­ния 4 (с. о) скрытого отказа в состояние 5 (ПП0) проверок, так как скры­тый отказ возникает с некоторой вероятностью в случайный момент времени, а заканчивается всегда в неслучайный момент начала про­верок. Найдем условную функцию распределения Fu(0 времени пре­бывания в работоспособном состоянии до перехода в состояние скрыто­го отказа и по ней вычислим условное /і4, а затем безусловные матема­тические ожидания:

^4 ^МП-П	^14*	(7.121)
В соответствии с (7.75) имеем		•
Рц (0 ~ ^14 (0//Й4 — Рц	(/)/(1_е~“‘Тмпп).	(7.122)

Используя (7.77), (7.110) и (7.111), вычислим вероятность

Pi4(0= [n-Q«2(T)]rfQ14(T) = f1 п е ПрИ /<тмпп‘- (7.123) о I 0 ПРИ * > %ПП •

Подставляя (7.123) в (7.122), получим

FM(0 = (l — е~Ы) /(і — е““"мпп). (7.124)

Заметим, что функция /7)4(^) определена только на интервале (0, тмпп), поэтому при вычислении по зависимости, аналогичной (7.81), условного математического ожидания 04 интеграл берется не от 0 до с», а от 0 до тмпп:

”*тмпп

С учетом (7.121) и (7.125) безусловное математическе ожидание вре­мени пребывания в состоянии 4 (с. о) скрытого отказа

Для расчета безусловных математических ожиданий tit t2, U и t5 по зависимости (7.80) найдем в соответствии с (7.110) и (7.111) бе­зусловные функции распределения:

Fi(t) =1 — [1 — Qa (01 [1 -<3і4 (01 =4

—со./ j

— e * при tCx

1

на основании (7.112) и (7.113)

f2(0= 1 — [1 — <2Я1(01 [1 — Q*s(01 = 1 — е-(Ш1+“зИ при <<тПП;

1 при t

но выражению (7.114)

Fs{t)= 1 — [1 — <2зі(01 = 1 — (1 +ші0

F*V)= 1 — [ 1 — QB3 (01 =

в соответствии с (7.115)

(7.132)

ТІ1П

U= j 1 dt +

о

Полученные функции Qu(t), рц, Fi(t), lt сведем в табл. 7.1 В соответствии с (7.90) составим уравнения для определения ста­ционарных вероятностей состояний ВМЦ:

— р2іП2 "Ь Р31П3 > %2 — Pi2Kl >

П3 — + P&3Ka > Пі ~ РііП1 > П5 = Рі6Кі"

С учетом (7.120) система (7.135) упрощается:

Я1 = P’2#2 4~ їїзі ~ PlsFi *

7Г3 = p-із^2 “Ь > 1Г4 = Pli^i’ = П4‘

Для ее решения исключим третье уравнение, заменив его нормирую­щим условием (7.88), и с учетом пятого уравнения получим систему

к а* с

а гг С Б t* н V л

го tf г VO го Н

с а с с :> £ и и V д

С Є нС нС V л

з +

3 +

к о, с

к сх с

Система (7.137)—(7.140) решается методом подстановки. Из (7.137) и (7.138) получим

Jtj — Tlj — P2ln2. — p2lPl2nl — nl0 —— p21pli)‘ (7.141)

Подставляя (7.138), (7.139) и (7.141) в (7.140), имеем ли + Pizni + Jtj(l — Р21Р12) + 2р14Лі = 1, откуда после преобразований найдем

Яі — 1 /[2(1 + р14) + Ріг(1 — р21)1. (7.142)

В соответствии с (7.138) и (7.142)

= P iz/t2(l + рц) + рі2(1 — Р21) J • (7.143)

На основании (7.141) и (7.142)

я3 = 1 — p2lpl2ll 2(1 + рц) + р12( 1 — р21)]. (7.144)

Подставляя (7.142) в (7.139), найдем

я4 = п5 = рі4/[2(1 4- р14) + рі2(1 — р21)]. (7.145)

Заметим, что все стационарные вероятности (7.142)—(7.154) ВМЦ отличаются только числителями соответствующих выражений.

В соответствии с зависимостями (7.86), (7.138), (7.139), (7.141) найдем математическое ожидание времени одного перехода:

^ + Ріа^іД "В (1 РііРіг) /3 4~ Р 14^1/4 “h

І~ 1

+ = ’й ґ^і + Річ ^2 + (1 — РчіРіч) h + Рі4 ( h + /Б)1 • (7.146) Введем обозначение А — ti + Р4г + (1 Р21Р12) h + Р14 (^4 + /5) • (7.147) при котором (7.146) принимает вид t = ІС4і4. (7.148) Далее можно по (7.87) с учетом (7.138), (7.139), (7.141)- (7.148) определить вероятности исследуемого ПМП: -(7.145) и Pi = TjA (7.149) Р2 = lA) = PiJ2IA (7.150) Р3— = (1 Р21Р12) ^3^ (7.151) P4 — *44ЫА) = P4 ! A (7.152) P5 = */5/0vl) = PiAM- (7.153)

Используя данные табл. 7.1, выразим функцию А [см. (7.147)1 через исследуемые параметры системы периодических проверок:

‘°4Тмпп ~“*тмпп ( -(‘“s-10») тпп

/ -«*+«.> -»4ТМПП 1‘-е е — —’^Г + Тпп)

”*тмпп.

1-е I +е I 1 — е |Х

(* ^мпп)

ТМПП + ТПП + хв ~ ВдШП [ твРпп + ^ПП — (* — ^пп)/(ю2 + “з)1

(7.159)

^МПП ([4] ~ Рпп)/(ю2 + «з)

ТМПП + ХПП + тв — РМІІП I хв^ПП + ТПП — В — ВПп) /(“2 + “з)]

(7.160)

(1 — ^пп ^мпп) "в

— ~ • у

ТМПП + ХПП + ТВ — ^мпп I тв7’пп + ХПП (1 — Впп)/(ю2 + «3)1

(7.161)

D _ ‘СМПП —(* “^МПП)/®*

* 4 — •_________ _ »

^МПП + ‘СПП + ТВ ~ ^МПП [ хврпп + ТПП — (* — РПп)/(“» + “з)]

(7.162)

р ___________________________ 0 ~рмпп) тпп____________________________

^МПЛ + ^ПП + ^в —^мППІтвР пп~т- тпп (1 Рпп)/К+ “в)]

(7.163)

Выражения для вероятностей пребывания в пяти состояниях ПМП отличаются только числителями.

Получим далее зависимость для средних затрат в единицу времени рассматриваемого ПМП, использовав для этого формулу (7.107). Полагаем, что нахождение комплекса на дежурстве в состояниях 1(р) и 4 (с. о) требует затрат Ct уел. ед. стоимости или трудовых затрат в единицу времени, в состоянии 2(ПП) и 5(ПП) соответственно — аСи в состоянии 3 (в) — ЬС±, т. е.

Сц = С г, г, — Сй С2 2 — С55 = оСй С за — bCt. (7.164)

С учетом (7.164) и (7.148) выражение (7.107) принимает вид

5

С — Сцк-іі— —— Ci(n1t1 + іт40 +aCl(n2t2 + к6<6) +

t ~iA

i=l

+ bCjtt 3^3]. (7.165)

„ „ Гусл. ед. стоимости] .

Далее для упрощения анализа примем ———————————————- 1,

L ед. времени J

что будет соответствовать выбору масштаба условной единицы стои­мости в единицу времени. Тогда (7.165) можно записать следующим образом:

— С, =———- — + ~4- + 0 (^2^2 ~"Ь ПВ7В) "Ь W3] • (7.166)

Подставим (7.138), (7.139), (7.141) в (7.166) для стационарных ве­роятностей ВМЦ и после преобразований получим

Cl = — [^1 +Pl4^4 +flPl2^2 + аРн^Ь + —- PiiP 12) ^3 ] =

_ h + Pi2*2 + (* — P21P12) h + P14 ( tj + h) ,

A I

рипать и более удобную в написании функцию С’=Сі—1, что фор­мально соответствует уменьшению затрат на одну условную единицу. Физически это соответствует тому, что оцениваются только дополни­тельные расходы на проведение ПП и восстановление ЛК сверх по­стоянных затрат на поддержание готовности в период между периоди­ческими проверками. С учетом этого из (7.167) найдем

С’ = [(а 1) (Pi2^2 + Pi А) + {Ь 0(1 Р21Р12) *з]М- (7.168)

Используя (7.147) и данные табл. 7.1 при обозначениях (7.155) —

(7.157) , раскроем функцию (7.168):

(о — і) [ ^мпп (1 Рцп)^ (“2+“з)+ (і Рдшп) тпп] +

Вероятности Р2 и Ръ существенно зависят от периодичности (ве­личины тмпп) и продолжительности ПП (величины тпп), потоков от­казов в ходе проверок (параметров юг и соз).

Подробнее проанализируем зависимость вероятности Р от опти­мизируемых параметров. На величину Рі — Кгіт наибольшее влияние оказывают параметры тмпп и «4. Па рис. 7.8 показан характер изменения функции/Сгпп (тмпп. ом) при со4= 10~3, 10“4,

10“Б ч-1 (соответствен­но кривые /, 2, 3), (.02 + Из = 0,4 Ч-!, Тпп = = 10 ч, тв=30 ч. Точки

Л

КгПП max (Тмпп) ДЛЯ

различных значений со4 соединены пунктирной линией 4. Функция /<гпп (Тмпп) имеет яс­но выраженный макси­мум, который опре­деляется уравнением

д^гПП___ дР1 _ Q

бтмпп йтмпп

При большой частоте ПП, когда величина тмпп мала, коэф­фициент готовности Кгпп меньше максимального значения, так как проверки требуют снижения готовности, а время пребывания в со­стоянии скрытого отказа (за короткий промежуток времени тмпп между проверками) невелико. С увеличением тмпп заметно увели­чивается время пребывания в состоянии скрытого отказа и, следо­вательно, уменьшается величина Кгпп — С уменьшением параметра

А

потока скрытых отказов, естественно, повышается /Сгпп и тмпп — Продифференцируем (7.159) с учетом обозначения (7.155) и

А

найдем уравнение для расчета значения тмпп, при котором

А

Кгпп (%тп) =тах:

Тмпп { Тмпп + Тпп + — Т’мпп Ьирпп + Тпп —

др, ____________________ — (* Т’пп)/ К + о.,)]}_________________________

ЙТМПП { ТмПП + <СПП + Тв РМПП [ tBPnn + ТПП (,—РПп)/ (<»2 + С08)] }2

(1 — рмпп) {1 + “4РМПП ( Тврпп + ^ПП — (1 Pnn)/(“s+“s)])

—— 1———————————- ——————————————————- . (7.170)

{ ТМПП + ТПП + — Т*МПП Пврпп + ТПП ~ (1 Рпп)/(ю2 + “»)]}2 .

Поскольку знаменатель (7.170) не равен нулю, то уравнение для

А

определения тмпп можно получить, приравняв нулю числитель:

(7.171)

—— —(1 — Рмпп) {1 + «4Рмпп [твРпп + тпП — (1 — Рпп)/(«>2 + «*)]} •

После преобразований получим рекуррентное уравнение для

Л

Л Г 1

Ш*ТМПП Л. / I _ч,

е |_тмпп"1 h (1 Рпп)( ~ f" тв| = — • (7.172)

пп*

Для частного случая, когда в ходе ПП отказы и ложные отказы не возникают, т. е. со2 + ®3 = ш = 0 (Рпг^= 1), выражение (7.159) упрощается. Чтобы получить зависимость для Ягпп, необходимо раскрыть неопределенность типа 0/0 по правилу Лопиталя для чле­на (1 — Рпп)/« =(1 — е~а’Гпп)/(о. Так как

то в соответствии с (7.159) и (7.173) при со2 = со3 = 0 получим Pi = Кгтт = — (1 — Рмпп)/[тмпп + тпп+ тв(1 — Рмпп)]. (7.174)

со4

Л

а уравнение (7.172) для определения величины тМПп при ю=0 с учетом (7.173) принимает вид

л

~Ю‘ТМПП /д

е ТМПП ^Ш4 “Ь Тпп / “ ^W4′ (7- 1^5)

Если продолжительность проверок пренебрежима мала, т. е. Тпп = 0, Рпп — 1(©^= 0), то в соответствии с (7.159)

/Сгпп = — (1 — Рмпп)/ [ тмпп + Тв (1 — РМпп)]’ (7.176)

Ш4

а уравнение (7.172) можно записать в виде

л

~ю‘тмпп

е (Тмпп + 1 Ю = 1 /0>4- (7 •1 77)

Наконец, если восстановление происходит мгновенно, т. е. тв = = 0, то (7.159) принимает вид

а (7.172) записывается в следующей форме:

л гд

е — тмпп [Хмпп + 1 /0)4 + (1 — Рпп)/(<% + “з)] = 1 /®4* (7.179)

Рекуррентное уравнение (7.172) можно легко решить методом последовательных приближений; однако, раскладывая величину

в ряд до третьего члена:

.2 мпп *

Л о.

после дополнительных допущений можно получить приближенное

Л

явное выражение величины тмпп через другие параметры, характе­ризующие проверки.

Подставим ряд (7.180) в (7.172) и после преобразований получим кубическое уравнение

<04ХМПП Ш4 | … , … тв0 Рпп)о>4———— 1 I Тмпп——-

+ 2(1	— Рпп)(	1	о ІІ Т7" +	(7.181)
<й2 + Мд
допущении
“4(1	— Рпп) 1	( I	■ + Тв) « 1	(7.182)
1 <«2 + “з

__ 2 Г ^~Рпп) L “2 + “з

+ твш4(1 — Рпп) |тмпп +

Л 2 / л Ш4ТМПП (Ш4тмпп Ч ^<04 (1 Рпп) X

уравнение (7.181) упрощается:

Х ( «2 + ^3 + Т°) ТмПП + 2 ^ + Тв) = 0>

а при допущении

“4ТМПП ‘С 1

сводится к квадратному:

(1 — Рпп)(—————— Ь Тв], “! + *S /

и, пренебрегая малым последним членом (7.185), получают прибли­женную зависимость

Для случая, когда to2 = to3 = 0, с учетом (7.173) формула (7.187) принимает вид

тмпп ~ ^Tnn/W4 • (7.188)

Проанализируем точность приближенной формулы (7.188) по сравнению со строгим рекуррентным уравнением (7.172) при исход­ных данных, по которым построены графики, изображенные на

Л

рис. 7.8. Точные значения тмпп для кривых /, 2 и 3 соответственно составляют 242, 790 и 2500 ч, а по зависимости (7.187) — 252, 799, 2526 ч.

Для случая, когда со2—<о3 = 0, для кривой 2 максимум KVnn

л

достигается при тмпп = 435 ч Ірешение точного уравнения (7.175)],

Л

а приближенная формула (7.188) дает тмпп = 447 ч.

Можно показать, что для приближенных расчетов * при обычно встречающихся на практике значениях Тпп. тв, со2, соз, (о4 с точностью

Л

примерно ±5% можно найти величину тмпп по (7.187), а при со2 + + со3 2= 0 — по (7.188). Приближенные зависимости позволяют лег­ко проанализировать связь параметров, характеризующих ПП, а также их влияние на /Сгпп.

Выше было показано влияние параметров тмпп и на величину Кгпп = Pi- Из (7.159) видно, что с увеличением тв величина Кгпп (тв) монотонно уменьшается, причем эта зависимость имеет следующий характер:

/Сгпп (тв) = aj(a2+ а3тв),

где аи а2, а3 — постоянные параметры.

_ л

С увеличением тв заметно растет и величина тмпп. Влияние
параметров со2 и (о3 на величину Кгпп одинаково, так как они входят во все составляющие функции /Сгпп в виде суммы. Поэтому проана­лизируем функцию /Сгпп(ю). где со — ю2 со3. По выражению (7.159) ВИДНО, ЧТО С увеличением СО величина /СгПП монотонно убывает, при­чем характер изменения функций /С-гш (to) и KVnn (тв) близок. Ин­тересно отметить, что изменение параметра со обычно слабо сказы­вается на положении максимума функции /Сгпп (тмпп), т. е. на зна-

Л

чении Тмпп.

Если известна величина Р3 вероятности пребывания одноканаль­ного ЛК в состоянии восстановления, то в течение года он будет на­ходиться в этом состоянии в среднем Р3 • 1 год = Р3 • 8760 ч. Пусть при этом в среднем в единицу времени восстановления работают g человек. Если в ЛК входит n X т одноканальных ЛК (см. рис. 6.1), то на восстановление готовности в течение года общие средние трудо­затраты (чел-ч)

G = 8760 Р3 gnm. (7.189)

Таким образом, при известных значениях g, п, т ограничение на трудозатраты для восстановления готовности с точностью до обо­значений совпадает с ограничением непосредственно на величину Р3. G увеличением интервала между проверками функция Рз(тмпп) быстро падает, так как восстановление при принятой схеме следует только после ПП, причем чем меньше величина со4 (выше надежность), тем меньше абсолютное значение вероятности Р3. Проведенный ана­лиз модели системы поддержания ЛК в готовности к применению поз­воляет перейти к решению задачи оптимизации.